Моя Англия - Папирус Ахмеса

24 ноября 2010





Часть папируса Ахмеса

Математический папирус Ахмеса — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное ок. 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке.

Задачи папируса Ахмеса

Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Московский математический папирус, находящийся в Государственном музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина, уступает папирусу Ахмеса по полноте, но превосходит его по возрасту. Установлено, что оригинал, с которого был переписан папирус Ахмеса, относится ко второй половине XIX века до н. э.; имя его автора неизвестно. Отдельные исследователи предполагают, что он мог быть составлен на основании ещё более древнего текста III тысячелетия до н. э.

Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений. Для решения многих из них вырабатывались общие правила.

Вместе с тем, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте переросла исключительно практическую стадию и приобрела теоретический характер. Так, египетские математики умели брать корень и возводить в степень, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией. Множество задач, сводящихся к решению уравнений с одним неизвестным, связаны употреблением специального иероглифа «куча» для обозначения неизвестного, что указывает на оформление зачатков алгебры.

Папирус Райнда, как и Московский математический папирус, показывает, что древние египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа ~\pi ≈ 3,16²), тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Однако папирус свидетельствует и о недостатках египетской математики. Например, площадь произвольного четырёхугольника в них вычисляется перемножением полусумм длин двух пар противоположных сторон, тогда как равенство в таком случае имеет место только в прямоугольнике. Кроме того, обращает на себя внимание и то обстоятельство, что египетский математик пользуется только аликвотными дробями и дробью 2/3. В других случаях дробь вида m/n заменялась произведением числа m и аликвотной дроби 1/n, что зачастую усложняло вычисления, хотя в отдельных случаях могло и облегчить их.

Задача № R26 папируса Ринда

Неизвестное число складывается с 1/4, которое также содержит ‘ḥ‘, и получается 15, т.е. ~x +\frac{1}{4} \cdot x = 15.

Первый шаг: древний математик подставляет вместо "х" 4. Очевидно, что это число не подходит для решения, ~4 +\frac{1}{4} \cdot 4 \not= 15 :

1 4
1/4 1

1 + 1/4  5

Результат: 5.

Второй шаг: Мы в первом шаге получили вместо 15 только 5. Какая связь между этими двумя числами ?

1 5
2 10

3  15

Если умножить 5 на 3 получается 15. Перемножим взятое произвольно число "4" и полученное нами число "3", так мы получим искомое ‘ḥ‘ , т.е. 4 х 3 = ‘ḥ‘.

Третий шаг: вычислим 4 x 3 :

1 3
2 6
4 12

4  12

Ответ: 12.

Четвертый шаг: Проверим результаты наших вычислений, т.е. ~12 +\frac{1}{4} \cdot 12 = 15.

1 12
1/4 3

1 + 1/4  15

Искомое число ‘ḥ‘ равно 12.

Задача № R44 папируса Ринда

Задача № R44 папируса Ринда свидетельствует, что египтяне знали формулу для нахождения объема куба: V = L\cdot L\cdot H, где L, L и H соответственно длина, ширина и высота.

« "Пример вычисления объема квадратного хлебного амбара. Его длина 10, ширина 10 и высота 10. Сколько вместится зерна? Умножьте 10 на 10. Это 100. Умножьте 100 на 10. Это 1000. Возьмите половину от 1000, т.е. 500. Это 1500. Вы получили количество в khar. Умножьте 1/20 на 1500. Вы получите 75. Переведите это количество зерна в heqat и вы получите ответ - 7500 heqat зерна". »

Задача № R48 папируса Ринда

Задача R48 папируса Ринда
Задача R48: вычисление площади круга. Справа исходный рисунок; слева - рисунок по теории Michel Guillemot
Эллипс изображенный на стене храма в Луксоре
1 8 setjat
2 16 setjat
4 32 setjat
8 64 setjat

и

1 9 setjat
2 18 setjat
4 36 setjat
8 72 setjat

81

Сложность этой задачи заключается в том, что к ней не содержится ни каких поясняющих текстов. Перед нами только две таблицы цифр и один рисунок. На рисунке изображена фигура напоминающая восьмиугольник или окружность и вписанная в квадрат.

Согласно одной из теорий на рисунке изображен квадрат, стороны которого равны длине диаметра вписанной окружности. Площадь восьмиугольника вычисляется по формуле: 9^2 - 2\cdot 3^2 = 63, в этом случае площадь круга должна составлять 64.

Вторая теория, предложенная Michel Guillemot, более точно объясняет рисунок. Теория утверждает, что на рисунке изображен неправильный восьмиугольник, чья площадь должна быть равна вписанному в квадрат кругу. Площадь такого восьмиугольника ищется по формуле: ~9^2 - = 64. Но Michel Guillemot пошел дальше и предположил, что древние египтяне имели представление о квадратуре круга и могли строить равновеликий квадрат по площади данного круга.

Людвиг Борхардт нашел очень похожий рисунок на стенах храма в Луксоре.

Задача № R50 папируса Ринда

« "Есть окружности в 9 khet. Какова площадь окружности? Нужно вычесть от 9 единицу. Останется 8. Умножьте 8 на 8. Это будет равняться 64. Вот перед вами и ответ - площадь круга равна 64 setjat. Подробный ход вычисления: " »
1 х 9 = 9
1/9 х 9 = 1

"После вычитания получается 8".

1 х 8 = 8
2 х 8 = 16
4 х 8 = 32
8 х 8 = 64

"Площадь круга составляет 64".

Очевидно, что в данном случае применялась такая формула: ~Aire =\cdot d)^2. Здесь представляется, что диаметр равен 9 khet. Однако то же самое можно было написать и иначе: ~Aire =\cdot d^2. Современная формула для вычисления площади круга: ~\pi\cdot r^2 или ~\cdot d^2. Ученые считают, что египтяне для своего времени достигли больших успехов в математике - они определяли отношение длины окружности к длине её диаметра равным ~\frac{256}{81}, т.е. 3,1605. Это очень близко к истине. Однако «Задача R50» свидетельствует, что египтяне не знали о существовании константы.

Задача № R51 папируса Ринда

треугольник из задачи R51 папируса Ринда
« Пример расчета площади треугольника. Если кто-то говорит вам: "Треугольник имеет «mryt» в 10 кхет, а его основание - 4 кхета. Какова его площадь?" Вычислить вам нужно половину от 4-х. Затем 10 умножьте на 2. Вот перед вами и ответ. »

Слово «mryt» вероятно означает высоту. «Кхет» - мера измерения.

~A = \frac{base}{2}{mryt}

Формула египтян идентична современной:

~S = \frac{ah}{2}

Задача № R52 папируса Ринда

Задача R52 папируса Ринда посвящена вычислению площади трапеции.

"Какова площадь усеченного треугольника, если его высота - 20 кхет, основание - 6 кхет, а верхнее основание - 4 кхета? Сложите нижнее основание трапеции с верхним. Получите 10. Разделите 10 пополам. А затем 5 умножьте на 20. Помните, что 1 кхет = 1000 локтей. Посчитайте ваш ответ".

1 х 1000 = 1000
1/2 х 1000 = 500
1 х 1000 = 2000
2 х 1000 = 4000
4 х 1000 = 8000

10000

Это решение можно записать следующей формулой: ~A = \frac {1} {2} \cdot \cdot 20.

Задача № R56 папируса Ринда

Изображение пирамиды. Вычисление наклона /h

Задачи R56, R57, R58 и R59 папируса Ринда подробно рассматривают способы вычисления наклона пирамиды.

Древнеегипетский термин «секед» обозначал угол наклона. Он находился через высоту, разделенную на половину основания.

« "Длина пирамиды с восточной стороны составляет 360, высота - 250. Вычислить нужно наклон восточной стороны. Для этого возьмите половину от 360, т.е. 180. Разделите 250 на 180. Вы получите: /2 , /5 , /50 локтя. Учтите, что один локоть равен 7 ширинам ладоней. Умножьте теперь полученные числа на 7 следующим образом: " »
/2 х 7; /2 = 3 /2
/5 х 7; /5 = 1 /3 х /15
/50 х 7; /50 = /10 х /25

Наклон равен 5 /25 ладоней.

Любопытно, что египтяне в решении этой задачи использовали одновременно две системы измерения - «локти» и «ладони». Сегодня при решении этой задачи мы нашли бы тангенс угла: зная половину основания и апофему.

В общем виде египетская формула вычисления секеда пирамиды выглядит так: ~Seqed = \frac{a}{h}\cdot 7.

Задача № R64 папируса Ринда

Задача № R64 папируса Ринда говорит нам о том, что в Древнем Египте применялась в вычислениях арифметическая прогрессия.

« "Пример разделения на части. Если кто-то говорит вам: у нас есть 10 héqat пшеницы на 10 человек, но есть разница между ними в 1/8 héqat пшеницы. В среднем это 1 héqat. Вычитаем 1 из 10, получаем 9. Возьмем половину от разницы, т.е. 1/16. Умножим на 9. Далее 1/2 и 1/16 héqat прибавим к среднему значению и вычтем 1/8 héqat у каждого последующего человека. Вот расчеты того, о чем с вами говорим: ". »
1 1/2 1/16
1 1/4 1/8 1/16
1 1/4 1/16
1 1/8 1/16
1 1/16
1/2 1/4 1/8 1/16
1/2 1/4 1/16
1/2 1/8 1/16
1/2 1/16
1/4 1/8 1/16

10

Объяснение: Задача заключается в том, чтобы поделить 10 héqat пшеницы между 10 людьми. Обозначим людей: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 и H10. S - это общее количество, т.е. 10 héqat пшеницы. N - количество частей. У каждого разное количество héqat. При этом у каждого на 1/8 héqat больше, чем у предыдущего. Пусть H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 и т.д., у последнего больше всех пшеницы. Шаг прогрессии составляет R = 1/8.

Находим среднее количество héqat, которое раздается каждому, т.е. S/N = 10/10 = 1.

Затем вычислим ту разницу, которая получается при последующем делении. Т.е. N-1 = 10-1, равно 9. Таким образом R/2 = 1/16, а R/2 * = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Самое большое количество вычисляется по формуле: R/2 * + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Распределение на 10 частей :

H10 = 1 + 1/2 + 1/16.
H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16
H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16
H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16
H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16
H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16
H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16
H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16

Итог = 10

Вполне возможно решение этой задачи имело практическое применение.

Можно записать решение в виде формул:

\ H_{N} = + * R/2 \,

\ H_{n-1} = H_n - r \,

Задача № R79 папируса Ринда

Задача № R79 папируса Ринда говорит нам о том, что в Древнем Египте применялась в вычислениях геометрическая прогрессия. Впрочем нам известно только то, что египтяне использовали для прогрессии числа «2» и «1/2», т.е. могли получать такие значения как: 1/2, 1/4, 1/8... и 2, 4, 8, 16... Так же остается открытым вопрос о практическом использовании геометрической прогрессии в Древнем Египте.

1 2801
2 5602
4 11204

7  19607
Домов 7
Кошек 49
Мышей 343
Солод 2401
Héqat 16807

19607


Просмотров: 4573


<<< Мраморы Элгина
Пелерина из Молда >>>